Аннотация

Данный элективный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла математического образования старшей школы и ориентирован на углубление и расширение предметных знаний по математике и соответствующих компетентностей по ним. Программа элективного курса состоит из образовательного раздела продолжительностью 34 часа по теме: «Решение уравнений и неравенств с параметрами». Данная программа своим содержанием может привлечь внимание учащихся 10 – 11 классов, которым интересна элементарная математика и ее приложения. Предлагаемый курс освещает вопросы, оставшиеся за рамками школьного курса математики. Он выполняет следующие основные функции: развитие содержания базовых учебных предметов по математике, что позволяет поддерживать их изучение на профильном уровне и получить дополнительную подготовку к сдаче единого государственного экзамена; удовлетворение познавательного интереса обучающихся, выбравших для себя те области деятельности, в которых математика играет роль аппарата. Ученик должен чувствовать эстетическое удовлетворение красиво оформленной задачи, от установленной возможности приложения математики к другим наукам. В процессе реализации элективного курса можно использовать разнообразны подходы к организации занятий как академические лекции, семинары, уроки, так и проектную и исследовательскую деятельность, практики, игровые технологии и т.д.

ВВЕДЕНИЕ

Изучение многих физических процессов и геометрических за­кономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ по матема­тике и очень часто оказываются не по силам обучающимся. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в общении с параметрами.

Появление таких задач на экзамене далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элемен­тарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений (без чего решение задач с параметрами невозможно) и уровень логического мышления учащихся.

Необходимость введения элективного курса «Решение уравне­ний и неравенств с параметрами» обусловлена тем, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточ­но великаразница между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы.

Цель курса– научить учащихся методам решения задач с параметрами, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками парамет­ра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величи­ной известной, а с другой - конкретное значение параметра неиз­вестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – может принимать различные значения. Получается, что параметр - неизвестная известная, переменная постоянная величина.

Пояснительная записка

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения математики и подготовки учащихся к продолжению образования.

Предлагаемый элективный курс «Решение уравнений и не­равенств с параметрами» составлен на основе авторской программы Д.Ф.Айвазяна с одноименным названием и является предметно-ориенти­рованным и предназначендля учащихся 11 классов общеобразовательной школы для расширения теоретических и практический знаний учащихся. Решение уравнений, содержа­щих параметры, -один из труднейших разделов школьного кур­са. Запланированный данной программой для усвоения учащи­мися объем знаний необходим для овладения ими методами ре­шения некоторых классов заданий с параметрами, для обобще­ния теоретических знаний. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга. Так же необходимо хорошо знать свойства функций и выделять те, которые нужно применять в конкретном случае.

Главная цель предлагаемой программы не подготовка к вступительному экзамену (хотя и это важно), не дать определённый объём знаний, готовых методов решения нестандартных задач (всех знаний дать невозможно), но научить самостоятельно мыслить, творчески подходить к любой проблеме. Это создаст предпосылки для рождения ученика как математика-профессионала, и даже если это не произойдёт, умение мыслить творчески, нестандартно, не будет лишним в любом виде деятельности в будущей жизни ученика.

Поэтому целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов их решения, а также формирование логического мышления и мате­матической культуры у школьников.

Курс имеет общеобразова­тельное значение, способствует развитию логического мышле­ния учащихся. Программа данного элективного курса ориенти­рована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изу­чение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с па­раметрами, знать некоторые методы решения заданий с парамет­рами (по определению, по свойствам функций, графически и т. д.)

Данный курс представляется особенно актуальным и совре­менным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений.

Данный курс имеет существенное образовательное значение для изучения алгебры.

Задачи курса:

- овладение системой знаний об уравнениях с параметром как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

-овладение аналитическим и графическими способами решения задач с параметром;

-приобретение исследовательских навыков в решении задач с параметрами;

-формированию логического мышления учащихся;

-вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу;

-подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.

Содержание курса предполагает работу с различными ис­точниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную рабо­ту учащихся.

Данный курс рассчитан на 34 часаи содержит следую­щие основные разделы:

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое зна­комство с уравнениями, содержащими параметр.

1. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

2. Квадратные уравнения и неравенства.

3. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

4. Решение различных видов уравнений и неравенств с па­раметрами.

Задачи программы:

• познакомиться с понятиями «параметр», «уравнение с параметром», «неравенство с параметром», «система уравнений с параметром», «система неравенств с параметром».
• различать условия параметрических задач;
• научиться решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с параметром аналитическим и графическим способами;
• научиться математически грамотно оформлять решение задач с параметром.

Ожидаемые результаты

Учащийся должен знать:

• понятие параметра;
• что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, системууравнений и неравенств с параметром;
• основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравненийи неравенств с параметром (линейных и квадратных);
• алгоритмы решений задач с параметрами;
• зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
• свойства функций в задачах с параметрами.

Учащийся должен уметь:

• определять вид уравнения (неравенства) с параметром;
• выполнять равносильные преобразования; 
• применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;
• осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;
• использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;
• выбирать и записывать ответ;
• решать линейные, квадратные уравнения и неравенства;несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра.

Учащийся должен владеть:

• анализом и самоконтролем;
• исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

• повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;
• освоить основные приемы решения задач;
• овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
• познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
• повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
• познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;
• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
• овладеть исследовательской деятельностью.

Формы работы:лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная.

Методы работы: исследовательский и частично-поисковый.

Виды деятельности на занятиях:лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

• принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;
• принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;
• принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;
• принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках. 
• принцип последовательного нарастания сложности.

Курс предназначается учащимся, изучающим математику  в общеобразовательных  классах и  в других профилях, как возможность восполнить пробелы их предыдущей подготовки по математике.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся и использует целый ряд межпредметных связей. Данный курс  способствует  систематизации знаний при подготовке к выпускным экзаменам. Используются различные формы организации занятий, такие как лекция и семинар, групповая, индивидуальная деятельность учащихся. Результатом предложенного курса должна быть успешная сдача ЕГЭ.

В результате изучения этого курса будут использованы приемы парной, групповой деятельности для осуществления элементов самооценки, взаимооценки, умение работать с математической литературой и выделять главное.

Содержание основных разделов курса

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром.

Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром.

Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов а и b. Решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Решение уравнений с параметрами, приводимых к линейным. Линейные неравенства с параметрами. Решение линейных неравенств с параметрами. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовме­стные). Понятие системы с параметрами. Алгоритм решения систем линейных уравнений с параметрами. Параметр и количе­ство решений системы линейных уравнений.

Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства.

Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритми­ческое предписание решения Квадратных уравнений с парамет­ром. Решение квадратных уравнений с параметрами. Зависи­мость, количества корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Реше­ние квадратных уравнений с параметрами при наличии допол­нительных условий к корням уравнения. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все ре­шения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квад­ратных неравенств с параметром второго типа.

Тема 3. Аналитические и геометрические приемы реше­ния задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с пара­метрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений. Метод решения относи­тельно параметра. Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром.

Тема 4. Решение различных видов уравнений и нера­венств с параметрами.

Решение тригонометрических уравнений, неравенств с па­раметром. Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений, неравенств спараметром.

Методические рекомендации по содержанию и

проведению занятий

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром. (2 часа)

Элективный курс целесообразно начать с вводного (органи­зационного) занятия, где учитель знакомит учащихся с содержа­нием и структурой курса, объемом и видом самостоятельных работ, а также формой итоговой работы, которую они выполнят в конце изучения курса. На первом занятии рекомендуется предложить учащимся темы и обсудить их для выступлений на практических занятиях.

Во второй части вводного занятия рекомендуется перейти к раскрытию понятий уравнения с параметром как семейства урав­нений, равносильности уравнений, понятия уравнения с парамет­ром, рассмотреть примеры задач, приводящих к уравнению с па­раметром и решения некоторых уравнений с параметром.

Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром. (11 часов)

При изучении темы на уроке дается понятие линейных урав­нений с параметром, рассматриваются три случая зависимости количества корней от значения коэффициентов а и b. Здесь же необходимо начать решение уравнений с параметрами при на­личии дополнительных условий к корням уравнения.

На последующих уроках необходимо рассмотреть понятие линейных неравенств с параметрами, на практическом занятии необходимо повторить свойства линейных неравенств и исполь­зовать их при решении линейных неравенств с параметрами.

Ввести классификацию систем линейных уравнений по ко­личеству решений (неопределенные, однозначные), дать поня­тие системы с параметрами и алгоритм решения систем линей­ных уравнений с параметрами.

Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства. (11 часов)

Данная тема – самая главная и основная тема курса, именно здесь отводится больше часов для изучения, на уроках необхо­димо ввести понятие квадратного уравнения с параметром, об­ратив внимание на неравенство нулю коэффициента а, рассмот­реть зависимость корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта, записать алгоритм решения квадратных уравнений с параметром. На практическом занятии целесообразно рас­смотреть решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения.

В содержании данной темы раскрываются теоретические сведения о нахождении корней квадратного трехчлена в зависи­мости от значений параметров. Учащиеся должны представлять, как может проходить график параболы в том или ином случае.

Тема 3. Аналитические и геометрические приемы и ме­тоды решения задач с параметрами. (9 часов)

На этих уроках нужно рассмотреть различные приемы и методы решения уравнений с параметрами. Учащиеся должны понимать, что красота и краткость решения зачастую зависят отвыбора пути решения задания. Необходимо подчеркнуть, какие именно задачи удобнее всего решать графическим методом.

Тема 4. Решение различных видов уравнений и нера­венств с параметрами. (1 час)

Обобщение и систематизация знаний учащихся в ходе решения задач различного типа. Эти уроки предполагается проводить в виде практикумов.

Календарно-тематическое планирование

элективного курса

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

Класс 11

Учитель Маркова Татьяна Александровна

Количество часов

Всего 34 часа.

Планирование составлено на основе сборника элективных курсов Д.Ф.Айвазян, Изд-во «Учитель», Волгоград – 2009г.

Литература

для учителя:

1. Айвазян Д.Ф. Математика. 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств с параметрами: элективный курс / авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград: Учитель, 2009.
2. Амелькин В.В. Задачи с параметрами [Текст] / В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. – М.: Асар, 1996.
3. Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО, 2009.
4. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005.
5. Карасев В. Решение задач с параметрами [Текст] / В. Ка-расев, Г. Левшина, И. Данченков // Математика. – 2005. №4.
6. Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение: пособие для поступающих в вузы/ В.С. Крамор. - М.: АРКТИ, 2000.
7. Кривчикова Э. Тема «Уравнения и системы уравнений» в курсе алгебры 11 класса/ Э. Кривчикова // Математика. – 2004. №37.-с. 18-37.
8. Муравин Г.К. Уравнения, неравенства и их системы [Текст]: фрагмент учебника Г.К. Муравина О.В., Муравиной  Г.К. // Математика. – 2003.
9. Сканави М.И. Полный сборник задач для поступающих в ВУЗы. Группа повышенной сложности /Под редакцией М.И. Сканави. – М.: ООО «Издательство «Мир и образование»: Мн.: ООО «Харвест», 2006.
10. Цыганов Ш. Десять правил расположения корней квад­ратного трехчлена [Текст] / Ш. Цыганов // Математика. – 2002. №18.-с. 19-23.
11. Шабунин М.И., Уравнения и системы уравнений с параметрами / Математика в школе. – 2003. №7. -с. 10-14.
12. Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004.

для ученика:

1. МордковичА.Г., СеменовП.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича.– М.: Мнемозина, 2013.
2. МордковичА.Г., СеменовП.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2013.
3. МордковичА.Г., СеменовП.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2013.
4. МордковичА.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2013.
5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы [Текст]: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2013.